erklärt seit 1953/1989

Littlewoods Gesetz und das Gesetz der wirklich großen Zahlen

Warum das Unglaubliche nicht nur vorkommt, sondern vorkommen muss

Wann
1953 und 1989
Wo
Cambridge sowie Harvard und Stanford
Feld
Können
Geprüft
2026-08-04

Kein offener Fall, sondern der Maßstab, an dem die anderen geprüft werden. Der Mathematiker John Edensor Littlewood rechnete 1953 vor, dass ein Mensch etwa einmal im Monat ein Ereignis erlebt, dessen Wahrscheinlichkeit bei eins zu einer Million liegt. Persi Diaconis und Frederick Mosteller formulierten 1989 das Gesetz der wirklich großen Zahlen: Bei genügend großer Stichprobe wird auch das Ungeheuerliche wahrscheinlich. Beides ist gerechnet, nicht behauptet. Was daraus nicht folgt, ist so wichtig wie das, was folgt.

Was gesichert ist

A dokumentiert Der Cambridge-Mathematiker John Edensor Littlewood formulierte in seiner Aufsatzsammlung A Mathematician's Miscellany (1953) eine Faustrechnung, die seither seinen Namen trägt. Sie lautet: Ein Mensch darf erwarten, ungefähr einmal im Monat ein Ereignis zu erleben, dessen Wahrscheinlichkeit bei eins zu einer Million liegt.

A dokumentiert Der Rechenweg ist offengelegt und nachprüfbar. Ein Mensch ist etwa acht Stunden täglich wach und aufmerksam; in dieser Zeit nimmt er grob ein unterscheidbares Ereignis pro Sekunde wahr. Das sind rund 30.000 Ereignisse am Tag und knapp eine Million im Monat. Bei einer Million Gelegenheiten tritt ein Millionstel-Ereignis im Schnitt einmal ein.

A dokumentiert Persi Diaconis (Stanford) und Frederick Mosteller (Harvard) veröffentlichten 1989 im Journal of the American Statistical Association den Aufsatz Methods for Studying Coincidences. Ihr Kernsatz: „With a large enough sample, any outrageous thing is likely to happen.“ Bei einer hinreichend großen Stichprobe wird also jede Ungeheuerlichkeit wahrscheinlich.

A dokumentiert Ihre Beispielrechnung: Bei 250 Millionen Einwohnern und einem Ereignis, das jedem Einzelnen mit einer Wahrscheinlichkeit von eins zu einer Million pro Tag zustößt, sind 250 Fälle täglich zu erwarten und fast 100.000 im Jahr. Auf Deutschland übertragen erleben rund 80 Menschen täglich, was „einer unter Millionen“ erlebt.

A dokumentiert Das Geburtstagsparadox, in derselben Arbeit behandelt: In einer Gruppe von 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, über 50 Prozent; bei 57 Personen über 99 Prozent. Der Grund ist Kombinatorik, nicht Zufallsmagie: Verglichen wird nicht eine Person mit den übrigen, sondern jedes Paar — bei 23 Personen sind das 253 Vergleiche.

A dokumentiert Diaconis und Mosteller ergänzten die alltagsnähere Variante, das Geburtstagsproblem mit Beinahe-Treffern. Damit zwei Personen mit über 50 Prozent Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Tages Geburtstag haben, genügen 14 Personen.

Chronologie

  • 1953 — Littlewood veröffentlicht A Mathematician's Miscellany mit der Faustregel. A
  • 1989 — Diaconis und Mosteller veröffentlichen Methods for Studying Coincidences in JASA 84(408). A
  • 2004 — Der Physiker Freeman Dyson macht Littlewoods Regel in der New York Review of Books einem breiten Publikum bekannt und prägt die Bezeichnung „Littlewood's law“ mit. B

Die Quellenlage

Sie ist ungewöhnlich klar, und das ist bei einem Fall aus dieser Sammlung erwähnenswert. Beide Texte sind gedruckt, datiert und einsehbar; der Aufsatz von Diaconis und Mosteller liegt im Volltext frei im Netz. Es gibt keine mündliche Überlieferung, keine gebrochene Kette, keinen Zeugen, der später widerrief.

Ein Unterschied zwischen den beiden Quellen ist trotzdem wichtig. Diaconis und Mosteller legen eine Arbeit mit Begutachtung vor, in der die Rechenwege ausgeschrieben sind. Littlewood dagegen schrieb eine Aufsatzsammlung, kein Lehrbuch. Seine Regel ist eine Überschlagsrechnung, deren Annahmen er selbst als grob bezeichnet. Sie ist kein Theorem, und sie ist nie als eines gemeint gewesen.

Was behauptet wird

C behauptet Man brauche 183 oder gar 366 Personen, damit zwei am selben Tag Geburtstag haben. Diese Zahlen beantworten eine andere Frage — nämlich die nach einem Treffer mit einer bestimmten Person. Der Vergleich im Geburtstagsparadox ist paarweise.

C behauptet Littlewood habe bewiesen, dass jeder Mensch monatlich ein Millionstel-Ereignis erlebt. Bewiesen ist nichts. Die Annahme „ein unterscheidbares Ereignis pro Sekunde“ ist eine Schätzung, und wer sie halbiert oder verdoppelt, verschiebt das Ergebnis entsprechend.

C behauptet Aus der Statistik folge, dass persönlich erlebte Fügungen bedeutungslos seien. Dieser Schluss steht in keiner der beiden Arbeiten. Er ist eine Zutat späterer Popularisierungen.

Erklärungsansätze

Die Menge der Gelegenheiten wird unterschätzt. Menschen bilden ihr Gefühl für Wahrscheinlichkeit an überschaubaren Mengen — an Würfeln, Karten, einer Handvoll Versuche. Die tatsächliche Zahl der Gelegenheiten in einem Leben liegt um Größenordnungen darüber. Was pro Gelegenheit fast unmöglich ist, wird bei genügend Gelegenheiten fast sicher.

Die Menge der zulässigen Treffer wird nie ausgeschrieben. Das ist der stärkste der drei Punkte und der am wenigsten beachtete. Niemand legt vorher fest, welche Übereinstimmung ihn beeindrucken würde. Ob der Name passt, das Datum, die Uhrzeit, ein Lied im Radio, ein Traum in der Nacht davor — die Prüfung findet immer im Nachhinein statt, und deshalb zählt praktisch jede Übereinstimmung. Eine Vorhersage, die nach dem Ereignis formuliert wird, hat keine Trefferquote.

Die Nicht-Treffer werden nicht gezählt. Es gibt kein Gedächtnis für den Anruf, der nicht kam, als man an jemanden dachte. Der Nenner der Rechnung ist unsichtbar, der Zähler steht in Erinnerung. Diaconis hat das zugespitzt: Das Unwahrscheinliche ist so wahrscheinlich, dass sein Ausbleiben verdächtig wäre.

Was offen bleibt

Offen bleibt der Zuschnitt der Grundgröße. Was ist „ein unterscheidbares Ereignis“? Die Frage lässt sich nicht scharf beantworten, und damit lässt sich Littlewoods Zahl nicht scharf beziffern. Das ändert nichts an der Größenordnung, aber es verbietet, die Regel als Präzisionsinstrument zu benutzen.

Offen bleibt auch, was die Rechnung im Einzelfall austrägt. Sie sagt, wie oft ein Ereignis dieser Art irgendjemandem zustößt. Sie sagt nicht, ob ein bestimmtes Erlebnis eines bestimmten Menschen in diese Klasse gehört — dazu müsste man die Klasse vorher festlegen, und genau das geschieht in der Praxis fast nie.

Warum uns das beschäftigt

Ab hier deuten wir — der Faktenteil endet oben.

Die Mathematik sagt: In einer Welt mit acht Milliarden Menschen muss das Unglaubliche ständig geschehen. Das ist wahr. Sie sagt nicht: Also war es bedeutungslos. Das wäre ein Kategorienfehler.

Littlewoods Gesetz beantwortet die Frage, wie oft so etwas irgendjemandem passiert. Es beantwortet nicht die Frage, was es bedeutet, dass es mir passiert ist, an diesem Tag, in dieser Lage. Die zweite Frage ist keine statistische. Ein Vergleich, der trägt: Dass ein Mensch aus biochemischen Prozessen besteht, erklärt vollständig, dass er Hunger empfinden kann — es sagt nichts darüber, was er essen soll, mit wem, und ob er teilt. Beschreibungsebenen konkurrieren nicht, sie beantworten verschiedene Fragen.

Wo die Statistik allerdings unbequem wird: Sie verbietet den Schluss auf eine Absicht. Wenn ein Millionstel-Ereignis in einer Welt dieser Größe erwartbar ist, dann ist sein Eintreten kein Beleg dafür, dass jemand es geschickt hat. Man darf ihm Bedeutung geben. Man darf es nicht als Beweis vorführen.

Darauf läuft dieser Fall hinaus, und deshalb steht er vor den anderen: Bedeutung ist etwas, das man einem Ereignis gibt. Beweis ist etwas, das man von ihm verlangt. Wer das erste tut, tut nichts Falsches. Wer das zweite mit dem ersten begründet, schon.

Quellen

  • Persi Diaconis, Frederick Mosteller: Methods for Studying Coincidences. Journal of the American Statistical Association 84(408), 1989, S. 853–861. Volltext: stat.berkeley.edu
  • John Edensor Littlewood: A Mathematician's Miscellany. Methuen, London 1953.
  • Freeman Dyson: One in a Million. The New York Review of Books, 25. März 2004.
  • Elliott Sober: Coincidences and How to Think about Them. fitelson.org
  • Wolfram MathWorld: Law of Truly Large Numbers. mathworld.wolfram.com

Stand der Prüfung: 2026-08-04. Die Belegstufen bezeichnen, worauf eine Aussage sich stützt — nicht, wie wahrscheinlich sie ist.